* La especialista del IIMAS de la UNAM, María del Carmen Jorge y Jorge, y la experta de la Universidad de Wisconsin, EU, Barbara J. Williams, realizaron el estudio
* Detectaron un sofisticado esquema que permitía llevar registros detallados del valor de los terrenos para cobrar impuestos
* Examinaron cientos de dibujos contenidos en los códices Vergara y Santa María Asunción, provenientes de Tepetlaoxtoc, cerca de Texcoco
* Este hallazgo fue publicado el viernes pasado por la revista Science
La especialista del Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas (IIMAS) de la UNAM, María del Carmen Jorge y Jorge, y la experta de la Universidad de Wisconsin, Estados Unidos, Barbara J. Williams, descifraron el complejo sistema aritmético creado por los aztecas, que incluía fracciones de una unidad para medir y registrar tierras. Se trata de un sofisticado esquema que permitía llevar registros detallados del valor de los terrenos para cobrar impuestos.
El hallazgo es resultado del análisis de dos códices aztecas del siglo XVI –1540-1544–, que documentan las propiedades agrícolas de los habitantes de la ciudad-Estado de Tepetlaoxtoc, cerca de la que hoy es la Ciudad de México, publicado el viernes pasado por la revista Science.
Las investigadoras examinaron cientos de dibujos contenidos en los códices Vergara y Santa María Asunción, provenientes de Tepetlaoxtoc, a seis kilómetros de Texcoco, y pertenecientes a la cultura nahua–acolhua. Texcoco fue uno de los tres reinos más importantes en el Valle de México.
Los aztecas, son reconocidos por el avanzado nivel en arquitectura, ingeniería, astronomía y otros campos. La nueva investigación confirma que la aritmética se agrega a esta lista.
En conferencia de prensa, la doctora por la University of New Mexico, EU, e integrante del Sistema Nacional de Investigadores, María del Carmen Jorge, reconoció que el Códice Vergara ha sido ampliamente analizado; sin embargo, el aspecto matemático no se había estudiado a fondo. Por ejemplo, Barbara J. Williams intentó trabajar con un matemático en Wisconsin, pero los resultados obtenidos no fueron los esperados y no siguieron con ellos.
Los hallazgos realizados complementan el conocimiento sobre estos aspectos de la cultura azteca, de hasta qué grado se desarrolló y hasta qué nivel matemático fueron capaces de llevar las operaciones, recalcó, acompañada por el director del IIMAS, Fabián García Nocetti.
Por su parte, García Nocetti subrayó que este trabajo es resultado de muchos años de colaboración, en los que primero fue necesario establecer un lenguaje común, porque son dos áreas que en principio podrían estar alejadas, antropología y matemáticas, pero que tienen muchos puntos de unión.
“Este es uno de los aspectos que caracteriza el trabajo de investigación hoy día. En la medida en que se logran conjuntar visiones y áreas diferentes, que tradicionalmente han estado separadas, y se aborda un problema común desde diferentes ópticas, se obtienen este tipo de resultados”, resaltó.
El hecho de que los aztecas se hayan tomado el trabajo de escribir unidades pequeñas o mónadas, significa que les interesaba la precisión porque, de lo contrario, sólo hubieran medido con números enteros. Si decidieron utilizar glifos es porque buscaron ser más específicos acerca de las dimensiones del terreno.
La matemática universitaria destacó que hubo culturas prehispánicas que emplearon este tipo de abstracciones matemáticas, hay palabras que indican pulgada o unidades de medida menores, pero, no existen documentos para realizar los estudios.
Lo valioso de estos códices es que se salvaron de la destrucción, del olvido y el abandono.
Con la llegada de los españoles al territorio, indicó María del Carmen Jorge, el sistema de medidas se convirtió en un desastre porque había diferentes métodos, como la Vara de Burgos. Pero el sistema azteca vigente era más ordenado.
Los aztecas tenían un orden impresionante en todo lo que era contar diferentes tipos de objetos, para los frutos era un tipo de números; para sandalias o utensilios que se podían apilar, eran otros; si era papel, uno más; es decir, todo era más preciso, y la palabra que se usaba para contabilizar se refería al objeto que se estaba enumerando.
De acuerdo con los estudios, las especialistas detectaron que el registro de las superficies se basaba en un singular sistema de cálculo, similar al que ahora utilizan los gobiernos para valuar la tierra.
La integrante del IIMAS explicó que los códices contienen tres secciones: en la parte inicial de cada uno de ellos, se encuentra un censo detallado de la población de la localidad, indicado por jefe de familia y los integrantes de ese núcleo; en la segunda, se enumeran los terrenos que poseían y sus medidas, todos de variadas formas.
La tercera posee dibujos de los mismos señores con sus tierras, pero cada terreno tiene una anotación numérica difícil de entender y diferente a la de los perímetros, añadió.
En la ilustración de las parcelas, se usan puntos y líneas propios de la numeración azteca, pero también glifos de manos, flechas y corazones, que representan distancias inferiores a la unidad estándar de los aztecas, el tlalquahuitl.
Los investigadores Herbert R. Harvey y Bárbara J. Williams fueron los que lograron descifrar la tercera sección como las áreas de cada uno de los lotes. El descubrimiento fue publicado en la revista Science en 1980 y la traducción en español en la revista Ciencia y Desarrollo en 1981.
La numeración utilizada consistía en combinaciones de líneas (una unidad) y puntos (20 unidades) y su unidad de longitud, el tlalquahuitl (T), equivale a 2.5 metros, aproximadamente. Los dos especialistas también describieron los glifos escritos en el centro de cada parcela como los indicadores del tipo de suelo.
Además de las líneas y puntos dibujados en los lados de los terrenos, los acolhuas dibujaron glifos de huesos, brazos, corazones, flechas y manos, a los que llamaron mónadas, para darles un carácter de unidades individuales de medida, menores que la unidad de longitud T y les asignaron valores numéricos.
En forma específica, las contribuciones del trabajo de María del Carmen Jorge y Jorge, y de Barbara J. Williams, consistieron en estudiar 367 terrenos de cuatro lados, pertenecientes al códice Vergara, donde la única información disponible es la longitud de cada uno de sus lados.
Se buscaron las posibles fórmulas para el cálculo de áreas que utilizaron los acolhuas y se lograron encontrar cinco algoritmos, que reprodujeron exactamente la zona registrada en los códices para 287 parcelas, el 78 por ciento de los casos.
Los algoritmos van de simples a más complejos, según el número de operaciones distintas requeridas. Uno de los más exitosos es la regla del agrimensor, que consiste en promediar los lados opuestos y multiplicar los promedios para obtener el área del cuadrilátero. Esta regla fue utilizada por los sumerios y después por los romanos.
Vistos los mónadas como unidades independientes se define una nueva aritmética para utilizarlos en los cálculos, de manera semejante a la que hoy se emplea cuando se convierten pulgadas en pies, éstos en yardas, o segundos en minutos, entre otros casos.
Se concluye que los mónadas no sólo se usaban como unidades de longitud menores al T, sino en los cálculos de las áreas con la utilización de sus correspondientes proporciones y la AAC.
* Detectaron un sofisticado esquema que permitía llevar registros detallados del valor de los terrenos para cobrar impuestos
* Examinaron cientos de dibujos contenidos en los códices Vergara y Santa María Asunción, provenientes de Tepetlaoxtoc, cerca de Texcoco
* Este hallazgo fue publicado el viernes pasado por la revista Science
La especialista del Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas (IIMAS) de la UNAM, María del Carmen Jorge y Jorge, y la experta de la Universidad de Wisconsin, Estados Unidos, Barbara J. Williams, descifraron el complejo sistema aritmético creado por los aztecas, que incluía fracciones de una unidad para medir y registrar tierras. Se trata de un sofisticado esquema que permitía llevar registros detallados del valor de los terrenos para cobrar impuestos.
El hallazgo es resultado del análisis de dos códices aztecas del siglo XVI –1540-1544–, que documentan las propiedades agrícolas de los habitantes de la ciudad-Estado de Tepetlaoxtoc, cerca de la que hoy es la Ciudad de México, publicado el viernes pasado por la revista Science.
Las investigadoras examinaron cientos de dibujos contenidos en los códices Vergara y Santa María Asunción, provenientes de Tepetlaoxtoc, a seis kilómetros de Texcoco, y pertenecientes a la cultura nahua–acolhua. Texcoco fue uno de los tres reinos más importantes en el Valle de México.
Los aztecas, son reconocidos por el avanzado nivel en arquitectura, ingeniería, astronomía y otros campos. La nueva investigación confirma que la aritmética se agrega a esta lista.
En conferencia de prensa, la doctora por la University of New Mexico, EU, e integrante del Sistema Nacional de Investigadores, María del Carmen Jorge, reconoció que el Códice Vergara ha sido ampliamente analizado; sin embargo, el aspecto matemático no se había estudiado a fondo. Por ejemplo, Barbara J. Williams intentó trabajar con un matemático en Wisconsin, pero los resultados obtenidos no fueron los esperados y no siguieron con ellos.
Los hallazgos realizados complementan el conocimiento sobre estos aspectos de la cultura azteca, de hasta qué grado se desarrolló y hasta qué nivel matemático fueron capaces de llevar las operaciones, recalcó, acompañada por el director del IIMAS, Fabián García Nocetti.
Por su parte, García Nocetti subrayó que este trabajo es resultado de muchos años de colaboración, en los que primero fue necesario establecer un lenguaje común, porque son dos áreas que en principio podrían estar alejadas, antropología y matemáticas, pero que tienen muchos puntos de unión.
“Este es uno de los aspectos que caracteriza el trabajo de investigación hoy día. En la medida en que se logran conjuntar visiones y áreas diferentes, que tradicionalmente han estado separadas, y se aborda un problema común desde diferentes ópticas, se obtienen este tipo de resultados”, resaltó.
El hecho de que los aztecas se hayan tomado el trabajo de escribir unidades pequeñas o mónadas, significa que les interesaba la precisión porque, de lo contrario, sólo hubieran medido con números enteros. Si decidieron utilizar glifos es porque buscaron ser más específicos acerca de las dimensiones del terreno.
La matemática universitaria destacó que hubo culturas prehispánicas que emplearon este tipo de abstracciones matemáticas, hay palabras que indican pulgada o unidades de medida menores, pero, no existen documentos para realizar los estudios.
Lo valioso de estos códices es que se salvaron de la destrucción, del olvido y el abandono.
Con la llegada de los españoles al territorio, indicó María del Carmen Jorge, el sistema de medidas se convirtió en un desastre porque había diferentes métodos, como la Vara de Burgos. Pero el sistema azteca vigente era más ordenado.
Los aztecas tenían un orden impresionante en todo lo que era contar diferentes tipos de objetos, para los frutos era un tipo de números; para sandalias o utensilios que se podían apilar, eran otros; si era papel, uno más; es decir, todo era más preciso, y la palabra que se usaba para contabilizar se refería al objeto que se estaba enumerando.
De acuerdo con los estudios, las especialistas detectaron que el registro de las superficies se basaba en un singular sistema de cálculo, similar al que ahora utilizan los gobiernos para valuar la tierra.
La integrante del IIMAS explicó que los códices contienen tres secciones: en la parte inicial de cada uno de ellos, se encuentra un censo detallado de la población de la localidad, indicado por jefe de familia y los integrantes de ese núcleo; en la segunda, se enumeran los terrenos que poseían y sus medidas, todos de variadas formas.
La tercera posee dibujos de los mismos señores con sus tierras, pero cada terreno tiene una anotación numérica difícil de entender y diferente a la de los perímetros, añadió.
En la ilustración de las parcelas, se usan puntos y líneas propios de la numeración azteca, pero también glifos de manos, flechas y corazones, que representan distancias inferiores a la unidad estándar de los aztecas, el tlalquahuitl.
Los investigadores Herbert R. Harvey y Bárbara J. Williams fueron los que lograron descifrar la tercera sección como las áreas de cada uno de los lotes. El descubrimiento fue publicado en la revista Science en 1980 y la traducción en español en la revista Ciencia y Desarrollo en 1981.
La numeración utilizada consistía en combinaciones de líneas (una unidad) y puntos (20 unidades) y su unidad de longitud, el tlalquahuitl (T), equivale a 2.5 metros, aproximadamente. Los dos especialistas también describieron los glifos escritos en el centro de cada parcela como los indicadores del tipo de suelo.
Además de las líneas y puntos dibujados en los lados de los terrenos, los acolhuas dibujaron glifos de huesos, brazos, corazones, flechas y manos, a los que llamaron mónadas, para darles un carácter de unidades individuales de medida, menores que la unidad de longitud T y les asignaron valores numéricos.
En forma específica, las contribuciones del trabajo de María del Carmen Jorge y Jorge, y de Barbara J. Williams, consistieron en estudiar 367 terrenos de cuatro lados, pertenecientes al códice Vergara, donde la única información disponible es la longitud de cada uno de sus lados.
Se buscaron las posibles fórmulas para el cálculo de áreas que utilizaron los acolhuas y se lograron encontrar cinco algoritmos, que reprodujeron exactamente la zona registrada en los códices para 287 parcelas, el 78 por ciento de los casos.
Los algoritmos van de simples a más complejos, según el número de operaciones distintas requeridas. Uno de los más exitosos es la regla del agrimensor, que consiste en promediar los lados opuestos y multiplicar los promedios para obtener el área del cuadrilátero. Esta regla fue utilizada por los sumerios y después por los romanos.
Vistos los mónadas como unidades independientes se define una nueva aritmética para utilizarlos en los cálculos, de manera semejante a la que hoy se emplea cuando se convierten pulgadas en pies, éstos en yardas, o segundos en minutos, entre otros casos.
Se concluye que los mónadas no sólo se usaban como unidades de longitud menores al T, sino en los cálculos de las áreas con la utilización de sus correspondientes proporciones y la AAC.
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